原群

1. 概述

于 群论 中, 原群 是一种基本的 代数结构, 它是指一个带有 运算 的 集合, 且该运算无须满足任何额外的性质.

2. 定义

定义 1 (原群)

设 为 集合, 为 上的 二元运算：

则称资料 为 原群.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 每个 半群、幺半群 与 群 在忘记额外公理后都是 原群;
• 整数集合 在减法下构成原群, 但减法不满足 结合律, 因而它不是半群;
• 非零实数集合 在运算 下构成原群, 但一般不满足结合律.

4. 相关性质

命题 3 (闭子集继承原群结构)

设 为 原群, 非空集 . 若 , 则运算在 上的限制使 构成原群.

证明 4 (闭子集继承原群结构)

给定的 封闭性 条件说明限制后的运算确实是从 到 的 映射, 这正是 原群 所需的全部资料.

命题 5 (原群的 Cartesian 积)

设 与 为 原群, 在 上定义 , 则 构成原群.

证明 6 (原群的 Cartesian 积)

两个分量分别落在 与 中, 因而按分量定义的运算是从 到 的 映射.

5. 相关概念

• 半群 (带 结合律 的版本)
• 幺半群 (带 结合律, 单位律 的版本)
• 群 (带 结合律, 单位律, 逆元律 的版本)

6. 术语翻译

中文	英文
原群	magma