整数模 $n$ 加法群

1. 概述

于 群论 中, 整数模 加法群 是 整数加法群 对子群 的 商群. 它是群阶为 的 循环群, 也是有限循环群的标准模型.

2. 定义

定义 1 (整数模 加法群)

设 . 在模 同余 的 等价类 集合 上定义加法：

称所得 交换群 为 整数模 加法群.

3. 例子

例子 2 ()

, 其中 与 都是生成元; , .

4. 相关性质

命题 3 ( 的群阶与元素阶)

且 . 对任意 , 元素 的阶为 .

证明 4 ( 的群阶与元素阶)

每个同余类均写作 , 故 生成整个群. 又 当且仅当 , 使其成立的最小正整数 为 .

命题 5 ( 的生成元)

生成 当且仅当 .

证明 6 ( 的生成元)

由 的群阶与元素阶, 生成整个群当且仅当其阶为 , 即 , 这等价于 .

5. 相关概念

• 整数模 环
• 整数加法群
• 循环群
• 商群

6. 术语翻译

中文	英文
整数模 加法群	additive group of integer(s) modulo