自同构群

1. 概述

于 群论 中, 某个 集合 上的全体到自身的 双射, 或更广义的说全体 自同构 连同 复合 构成了 上的 自同构群, 通常被记为 , 例如说：

• 若 为 有限维线性空间, 那么 上全体可逆 线性变换 (或 可逆方阵) 的自同构群则为 一般线性群, 这一类群在 群表示论 以及 Lie 理论 中扮演着重要角色;
• 若 为 群, 那么它的自同构群就是 中所有的 群自同构 所组成的.

往更广义的说, 关于自同构群的讨论可以被推广至 范畴论 中, 例如说考虑 范畴 中的一个 对象 , 那么所有 上的全体 自同构 同样是一个自同构群.

2. 定义

定义 1 (自同构群)

设 为 范畴, 为 对象. 称 集合：

在 复合态射 下构成的 群 为 的 自同构群.

记号 2 (自同构群)

无歧义时, 自同构群 简记为 .

3. 例子

例子 3 (群的自同构群)

对 群 , 全体 群自同构 在 复合 下构成 定义 1 (自同构群) . 特别地, .

例子 4 (线性空间的自同构群)

设 为域 上的有限维 线性空间. 全体可逆 线性变换 构成 一般线性群 .

4. 相关性质

命题 5 (自同构在复合与取逆下封闭)

设 为 范畴, . 若 , 则 且 .

证明 6 (自同构在复合与取逆下封闭)

同构 的复合仍是同构, 且同构的 逆态射 仍是同构. 单位元为 , 结合律继承自 复合态射, 因而这些态射构成 群.

命题 7 (同构对象具有同构的自同构群)

设 为范畴 中的 对象, 若 为 同构, 则 .

证明 8 (同构对象具有同构的自同构群)

映射 是 群同态, 其逆映射为 , 故它是 群同构.

5. 相关概念

• 群自同构
• 一般线性群
• 自同构

6. 术语翻译

中文	英文
自同构群	automorphism group