伴随函子

1. 概述

于 范畴论 中, 伴随函子 通过 Hom-集之间的自然双射表达两个 函子 的最优相容关系. 大量“自由构造—遗忘结构”和“极限—对角函子”关系都由伴随统一描述.

2. 定义

定义 1 (伴随函子)

设 、 为 函子. 若存在关于 与 自然的双射：

则称 为 的 左伴随, 为 的 右伴随.

记号 2 (伴随函子)

为 的左伴随且 为 的右伴随记为 , 并称其构成 伴随.

注记 3 (自然性方块)

对态射 、, 伴随 的自然性分别表示为：
\xymatrix{
\Hom{\mathcal D}{F(X)}{Y} \ar[r]^{\Phi_{X,Y}} \ar[d]{-\circ F(u)} & \Hom{\mathcal C}{X}{G(Y)} \ar[d]^{-\circ u} \
\Hom{\mathcal D}{F(X’)}{Y} \ar[r]{\Phi_{X’,Y}} & \Hom{\mathcal C}{X’}{G(Y)}
}
\qquad
\xymatrix{
\Hom{\mathcal D}{F(X)}{Y} \ar[r]^{\Phi_{X,Y}} \ar[d]{v\circ-} & \Hom{\mathcal C}{X}{G(Y)} \ar[d]^{G(v)\circ-} \
\Hom{\mathcal D}{F(X)}{Y’} \ar[r]{\Phi_{X,Y’}} & \Hom{\mathcal C}{X}{G(Y’)}
}

3. 例子

例子 4 (对角函子与积)

若 范畴 具有二元 积, 则对角函子 与积函子构成 伴随函子, 因为：

4. 相关性质

命题 5 (伴随在自然同构意义下唯一)

一个 函子 的 左伴随或右伴随 若存在, 则在唯一 自然同构 意义下唯一.

证明 6 (伴随在自然同构意义下唯一)

若 都按 伴随函子 的定义左伴随于 , 则对每个 有自然同构：

由 Yoneda 引理 得到 ；右伴随情形对偶.

5. 相关概念

• 伴随的单位与余单位；
• 单子.

6. 术语翻译

中文	英文
伴随函子	adjoint functor

范畴论