反变函子

1. 概述

于 范畴论 中, 反变函子 是使 态射 方向反转的 函子. 它把源 范畴 中从 到 的态射送到目标范畴中从 到 的态射.

2. 定义

定义 1 (反变函子)

设 为 范畴. 从 对偶范畴 到 的 函子 称为从 到 的 反变函子.

3. 例子

例子 2 (开集上的连续函数)

设 为 拓扑空间, 为其 开集 按包含关系组成的 偏序范畴. 对每个开集 , 取实值 连续函数 的集合 . 包含 被送到从 到 的 限制映射, 因而 是取值于 集合范畴 的 反变函子, 即一个 预层.

4. 相关性质

命题 3 (反变函子的箭头表述)

设 为 范畴. 从 的 对象 和 态射 到 的赋值 是 反变函子, 当且仅当每个 被送到 , 且 、.

证明 4 (反变函子的箭头表述)

反变函子 箭头条件

对偶范畴 中 态射 的方向是 , 故 函子 给出 . 恒同态射 不变, 对偶范畴 的 复合 次序反转, 得到陈述中的两条等式.

箭头条件 反变函子

将同一赋值视为从 对偶范畴 到 的赋值. 所列 恒同态射 与反向 复合 等式正好是该方向上的 函子 公理, 因而得到 反变函子.

5. 相关概念

• 函子
• 对偶范畴
• 偏序范畴
• 预层

6. 术语翻译

中文	英文
反变函子	contravariant functor