对偶范畴

1. 概述

于 范畴论 中, 对偶范畴 通过反转全部 态射 的方向得到. 它把每个范畴论命题系统地转化为对偶命题, 例如积与余积、始对象与终对象相互对应.

2. 定义

定义 1 (对偶范畴)

设 为 范畴. 称 为 的 对偶范畴, 当：

• ；
• ；
• 对偶范畴中的复合由原范畴中反向的复合给出.

记号 2 (对偶范畴)

的 对偶范畴 记为 .

3. 例子

例子 3 (偏序集的对偶)

将 偏序集 视为至多只有一个态射的 范畴 后, 其 对偶范畴 对应于反转原偏序关系所得的偏序集.

4. 相关性质

命题 4 (双重对偶)

对任意 范畴 , 其 对偶范畴 满足 .

证明 5 (双重对偶)

对 对偶范畴 两次反转态射方向, 便恢复原来的 对象、Hom-集 与复合次序.

注记 6 (对偶原理)

任意仅用对象、态射、复合与恒同态射表述的命题, 在反转所有箭头后仍成立于 对偶范畴.

5. 相关概念

• 反变函子；
• 余极限.

6. 术语翻译

中文	英文
对偶范畴	opposite category

范畴论