代数闭包

1. 概述

于 Galois 理论 中, 代数闭包 是包含底域并且自身代数闭的最小代数环境. 它允许同时讨论底域上所有多项式的根.

2. 定义

定义 1 (代数闭包)

设 为 域. 若 为 代数扩张, 且 为 代数闭域, 则称 为 的 代数闭包.

3. 例子

例子 2 (复数域)

复数 域 是 实数 域 的 代数闭包, 但不是 的代数闭包, 因为 不是 代数扩张.

4. 相关性质

定理 3 (代数闭包的存在唯一性)

每个 域 都存在 代数闭包, 且任意两个代数闭包之间存在固定 的域同构.

5. 相关概念

• 代数扩张
• 分裂域
• 代数闭域
• 绝对 Galois 群

6. 术语翻译

中文	英文
代数闭包	algebraic closure