1. 概述 于 Galois 理论 中, 最小多项式 是刻画一个代数元在底域上全部多项式关系的唯一首一不可约多项式. 2. 定义 定义 1 (最小多项式) 设 为 域扩张, 为 代数元. 在所有满足 的非零多项式 中, 称次数最小且首一的多项式为 在 上的 最小多项式. 记号 2 (最小多项式) 最小多项式 记为 . 3. 例子 例子 3 ( 的最小多项式) 在 上的 最小多项式 是 . 4. 相关性质 命题 4 (最小多项式的整除性质) 设 为 域扩张, 为 代数元, . 则 , 当且仅当 最小多项式 整除 . 证明 5 (最小多项式的整除性质) 充分性 ( ) 以带余除法写 , 其中 . 代入 得 ; 最小性迫使 . 必要性 ( ) 反向由 立即得到. 推论 6 (最小多项式不可约) 最小多项式 在 中 不可约. 5. 相关概念 代数元 扩张次数 共轭元 分裂域 6. 术语翻译 中文英文最小多项式minimal polynomial