环同构

1. 概述

于 环论 中, 环同构 是具有环同态逆映射的 环同态. 环同构等价于同时为 环单同态 与 环满同态, 因而同构的环只在元素命名上不同.

2. 定义

定义 1 (环同构)

设 为 环, 为 环同态. 称 为 环同构, 当存在环同态 使：

记号 2 (环同构)

若 环 同构, 则记为 .

3. 例子

例子 3 (商环同构)

对任意 , 有 环同构 .

4. 相关性质

命题 4 (环同构与双射)

设 为 环同态. 则 是 定义 1 (环同构) 当且仅当 是 双射.

证明 5 (环同构与双射)

充分性 ( )

若 有环同态逆映射, 则它作为映射有双侧逆, 因而为双射.

必要性 ( )

若 为双射, 其集合论逆映射 存在. 对 , 有 , , 且 , 故 也是环同态.

推论 6 (环同构的单满判别)

设 为 环同态. 则 是 定义 1 (环同构) 当且仅当它同时为 环单同态 与 环满同态.

证明 7 (环同构的单满判别)

由 环同构 的定义, 同时为环单同态与环满同态等价于底层映射为双射; 再由 环同构与双射 得结论.

5. 相关概念

• 环同态
• 环单同态
• 环满同态
• 双射
• 商环

6. 术语翻译

中文	英文
环同构	ring isomorphism