1. 概述 于 线性代数 中, 无限维线性空间 是不能由有限多个 向量 生成的 线性空间. 2. 定义 定义 1 (无限维线性空间) 设 为 域 上的 线性空间. 若 不是 有限维线性空间, 则称它为 无限维线性空间. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 设 为 域. 多项式 空间 是 无限维线性空间：任何有限个多项式的 线性组合 的次数都有共同上界, 因而不能生成所有单项式. 4. 相关性质 命题 3 (任意大的有限线性无关族) 设 为 无限维线性空间. 对每个正整数 , 都包含 个 线性无关 向量. 证明 4 (任意大的有限线性无关族) 从空族开始. 每个有限族的 线性生成空间 都不等于 , 因此可以选取不在其中的向量. 由 线性无关 的定义, 添入该向量仍线性无关; 重复 次即得结论. 注记 5 (代数展开与无穷级数) 无限维线性空间 中的 基 仍只允许有限 线性组合. 无穷展开需要额外的拓扑与收敛条件, 不能从纯代数结构直接推出. 5. 相关概念 有限维线性空间 基 6. 术语翻译 中文英文无限维线性空间infinite dimensional vector space