不可数集

1. 概述

在 集合论 中, 不可数集 是无法用 自然数 逐一列举其全部 元素 的 集合. 等价地, 不可数集就是不属于 可数集 的集合.

2. 定义

定义 1 (不可数集)

设 为 集合, 若 不是 可数集, 则称 为 不可数集.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

• 实数集 是 不可数集;
• 幂集 是不可数集;
• 任意非退化实区间, 如 , 都是不可数集.

4. 相关性质

命题 3 (不可数性在扩大集合时保持)

若 是 定义 1 (不可数集), 且 , 则 也是不可数集.

证明 4 (不可数性在扩大集合时保持)

若 可数, 则其 子集 也可数, 这与 不可数矛盾. 因而 不可数.

命题 5 (移去可数子集)

若 是 不可数集, 是 可数集, 则 相对差集 仍然不可数.

证明 6 (移去可数子集)

若 可数, 则：

是两个可数集的 并集, 从而可数, 与假设矛盾.

命题 7 (Cantor 定理的推论)

对任意 集合 , 其 幂集 与 不等势. 特别地, 不可数.

5. 相关概念

• 可数集
• 幂集
• 基数
• Cantor 对角线论证

6. 术语翻译

中文	英文
不可数集	uncountable set

集合论