可数性公理

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 可数性公理 用可数的局部基、拓扑基、稠密子集或子覆盖控制拓扑空间的规模. 它们决定序列能否充分描述拓扑以及空间是否便于分析.

2. 定义

定义 1 (可数性公理)

常用的 可数性公理 包括：

1. 第一可数空间：每点具有可数 局部基;
2. 第二可数空间：空间具有可数 拓扑基;
3. 可分空间：空间具有可数 稠密子集;
4. Lindelöf 空间：每个 开覆盖 都具有可数子覆盖.

3. 例子

例子 2 (实数空间)

具有 通常拓扑 的 是 第一可数、第二可数、可分且 Lindelöf 的空间.

4. 相关性质

命题 3 (基本蕴含关系)

对任意 拓扑空间, 下列 可数性公理 之间满足：

1. 第二可数蕴含第一可数;
2. 第二可数蕴含可分;
3. 第二可数蕴含 Lindelöf.

证明 4 (基本蕴含关系)

1. 对可数拓扑基 , 每点所含基元素组成可数 局部基.
2. 从每个非空基元素中选一点, 所得可数集合与每个非空开集相交, 因而稠密.
3. 给定开覆盖, 对每个能包含于某个覆盖成员的基元素选取一个相应覆盖成员. 所选成员至多可数且仍覆盖空间.
   

5. 相关概念

• 第一可数空间
• 第二可数空间
• 可分空间
• Lindelöf 空间

6. 术语翻译

中文	英文
可数性公理	countability axiom

一般拓扑