连续函数

1. 概述

于 数学分析 中, 连续函数 是在每一点都保持局部极限的 映射. 直观上, 自变量的小变化只会引起函数值的小变化.

2. 定义

定义 1 (连续函数)

设 , 为 映射. 称 在 处 连续, 当：

若 在 的每一点连续, 则称 为 上的 连续函数.

3. 例子

例子 2 (多项式函数)

每个实系数多项式都是 上的 连续函数, 因为常值函数与恒等函数连续, 且连续函数的有限次和与积仍连续.

4. 相关性质

命题 3 (连续性的序列判别)

映射 在 连续, 当且仅当对每个满足 且 的序列, 都有 .

证明 4 (连续性的序列判别)

将 Heine 判别法 应用于 连续函数 的等式 ；若 不是聚点, 则结论直接成立.

定理 5 (介值定理)

设 为 连续函数. 若 介于 与 之间, 则存在 使 .

证明 6 (介值定理)

不妨设 . 令 , 并取 . 由 连续性, 若 , 则 右侧仍有点属于 ；若 , 则 左侧已有一段不属于 , 两者都与 上确界 的定义矛盾, 故 .

定理 7 (最值定理)

闭区间 上的 连续函数 必有界, 并且能取得最大值与最小值.

证明 8 (最值定理)

若 无界, 可取 使 . 由 Bolzano—Weierstrass 定理, 存在 , 而 连续性的序列判别 给出 , 矛盾. 令 , 选取 使 , 再取收敛子列即可得到取到最大值；最小值同理.

5. 相关概念

• 一致连续；
• 函数极限；
• 导数.

6. 术语翻译

中文	英文
连续函数	continuous function

数学分析