梯度

1. 概述

于 数学分析 中, 梯度 汇集标量函数在各坐标方向的 偏导数, 并给出函数增长最快的方向. 它是 方向导数 与 水平集 几何的桥梁.

2. 定义

定义 1 (梯度)

设 , 为 映射, , 且各 偏导数 存在. 称向量：

为 在 处的 梯度.

记号 2 (梯度)

梯度 也记为 .

3. 例子

例子 3 (二次函数的梯度)

对 , 有 .

4. 相关性质

命题 4 (梯度与方向导数)

若 在 处具有 全微分, 则对任意 ：

证明 5 (梯度与方向导数)

由 方向导数 与 全微分 的定义, . 在标准内积下, 线性泛函 的坐标正是各偏导数, 因而 .

5. 相关概念

• 偏导数;
• 方向导数;
• 全微分;
• 水平集.

6. 术语翻译

中文	英文
梯度	gradient
水平集	level set

数学分析