不可约多项式

1. 概述

于 环论 中, 不可约多项式 是 多项式环 中的 不可约元. 在 域 上, 它是不能分解为两个正次数因子乘积的非恒定 多项式, 其不可约性依赖于允许使用的系数.

注记 1 (动机)

将 多项式 分解为 不可约多项式 的乘积, 是研究多项式因式分解的基本步骤. 在 域 上, 不可约性还决定相应的 商环 是否为域.

2. 定义

定义 2 (不可约多项式)

设 为 整环, 为 多项式. 称 为 上的 不可约多项式, 当 是 多项式环 中的 不可约元.

注记 3 (系数环与常数因子)

不可约多项式 必须非零且不是 单位. 对 整环 , 多项式环 的单位恰为 中的单位常数, 因此分解时不能忽略非单位常数因子. 当 为 域 时, 每个非零常数都是单位, 所以不可约多项式必有正次数.

3. 例子

例子 4 (改变底域)

多项式 在 实数 构成的 域 上没有根, 由 二三次多项式的无根判据 可知它是 上的 不可约多项式. 在 复数 构成的域 上, 取虚数单位 满足 , 则它不是不可约多项式, 因为：

例子 5 (有理系数中的可约多项式)

在 有理数 构成的 域 上, 多项式 不是 不可约多项式, 因为它有两个正次数因子的分解：

例子 6 (整数系数中的常数与一次多项式)

设 为 素数. 常数 多项式 是 整数环 上的 不可约多项式：若 且 , 次数相加迫使 都为整数常数, 其中一个必为 , 即 单位. 相反, 一次多项式 不是不可约多项式, 因为两个因子都不是 的单位.

4. 相关性质

命题 7 (域上的因子次数判据)

设 为 域, 为非零 多项式. 则 是 上的 不可约多项式, 当且仅当同时满足：

1. ;
2. 不存在 使 且 , .

证明 8 (域上的因子次数判据)

在 域 上, 非零 多项式 的首项系数乘积非零, 因此乘积的次数等于各因子的次数之和. 所以 多项式环 的 单位 恰为非零常数.

充分性 (次数条件 不可约)

设 满足两项条件. 正次数保证 非零且不是 单位. 对任意分解 , 两个因子非零, 第二项条件迫使其中一个次数为零, 从而是单位. 故 是 不可约多项式.

必要性 (不可约 次数条件)

若 是 不可约多项式, 则它非零且不是 单位, 因而 . 任意分解 都有一个因子是单位, 即非零常数, 故不能有两个正次数因子.

命题 9 (二三次多项式的无根判据)

设 为 域, 为 多项式, 且 . 则 是 上的 不可约多项式, 当且仅当不存在 使 .

证明 10 (二三次多项式的无根判据)

充分性 (无根 不可约)

设 多项式 在 域 中没有根. 若 不是 不可约多项式, 由 域上的因子次数判据, 可写 , 其中两个因子都有正次数. 因 且 , 其中一个因子必为一次多项式. 写该因子为 , 其中 且 , 则 是 的根, 矛盾.

必要性 (不可约 无根)

设 为 不可约多项式. 若 且 , 由 多项式带余除法, 有 , 其中 , . 代入 得 , 且 . 这与 域上的因子次数判据 矛盾.

命题 11 (不可约多项式的商环刻画)

设 为 域, 为正次数 多项式, 为它生成的 主理想. 则 是 上的 不可约多项式, 当且仅当 商环 是域.

证明 12 (不可约多项式的商环刻画)

充分性 (商环为域 不可约)

设 商环 为 域. 若 不是 不可约多项式, 则由 域上的因子次数判据, 有 , 其中 的次数均正且小于 . 所以 均不属于 主理想 , 但它们在商环中的两个非零类的乘积为零, 与域是 整环 矛盾.

必要性 (不可约 商环为域)

设 为 不可约多项式. 对任意包含 主理想 的 理想 , 在 中取次数最小的非零 多项式 . 对任意 , 由 多项式带余除法 写 . 余式 , 由 的次数最小性得 , 所以 . 特别地, 有 , 其中 . 不可约性说明 或 是 单位, 从而 或 . 又 保证 是 真理想, 故它是 极大理想. 由 极大理想的商环刻画, 是 域.

5. 相关概念

• 多项式
• 多项式环
• 不可约元
• 单位
• 极大理想
• 商环
• 代数元素的最小多项式
• 分裂域

6. 术语翻译

中文	英文
不可约多项式	irreducible polynomial

环论