代数元素的最小多项式

1. 概述

于 Galois 理论 中, 代数元素的最小多项式 是刻画一个代数元在底域上全部多项式关系的唯一首一不可约多项式.

2. 定义

定义 1 (代数元素的最小多项式)

设 为 域扩张, 为 代数元. 在所有满足 的非零多项式 中, 称次数最小且首一的多项式为 在 上的 代数元素的最小多项式.

记号 2 (代数元素的最小多项式)

最小多项式 记为 .

3. 例子

例子 3 ( 的最小多项式)

在 上的 最小多项式 是 .

4. 相关性质

命题 4 (最小多项式的存在唯一性)

设 为 域扩张, 为 代数元. 则存在唯一的首一 多项式 , 使得 , 且 在所有以 为根的非零多项式中次数最小; 此多项式即为 在 上的 最小多项式.

证明 5 (最小多项式的存在唯一性)

存在性

因为 为 代数元, 所以存在非零多项式 满足 . 在所有这类多项式中取次数最小者, 再乘以其首项系数的逆, 即得满足条件的首一 最小多项式.

唯一性

若首一多项式 均满足上述条件, 则 . 因为 的次数相同且首项系数均为 , 所以若 , 则其次数严格小于 与 的次数, 与最小性矛盾. 因此 .

命题 6 (最小多项式的整除性质)

设 为 域扩张, 为 代数元, . 则 , 当且仅当 最小多项式 整除 .

证明 7 (最小多项式的整除性质)

以带余除法写 , 其中 . 代入 得 ; 最小性迫使 .

反向由 立即得到.

推论 8 (最小多项式不可约)

最小多项式 在 中 不可约.

证明 9 (最小多项式不可约)

设 , 其中 均为正次数多项式. 代入 得 . 因为 为 域, 不含非零零因子, 所以 或 . 但 , 这与 最小多项式 的次数最小性矛盾. 因此 在 中不可约.

5. 相关概念

• 代数元
• 扩张次数
• 共轭元
• 分裂域

6. 术语翻译

中文	英文
最小多项式	minimal polynomial