环的特征

1. 概述

于 环论 中, 环的特征 描述 环 的乘法幺元在加法下何时回到零元. 它区分零特征与正特征的代数运算, 并决定何时可以使用 Frobenius 自同态.

2. 定义

定义 1 (环的特征)

设 为含幺 环, 为其乘法幺元. 若存在正整数 使 , 则称满足此式的最小正整数为 的 环的特征; 若不存在这样的正整数, 则称 的特征为 . 其中 表示 个 相加.

记号 2 (环的特征)

环的特征 记为 .

3. 例子

例子 3 (整数环与整数模环)

整数环 的 环的特征 为 , 因为任意正整数个 相加都不为零. 对正整数 , 整数模 环 的特征为 , 因为 恰在 时成立. 特别地, 是特征为 的 零环.

例子 4 (有限域)

设 为 素数, 为正整数. 含 个元素的 有限域 的 环的特征 为 , 而不是一般的 . 特别地, 九阶有限域的特征为 , 所以每个元素 都满足 .

4. 相关性质

命题 5 (域的特征为零或素数)

任意 域 的 环的特征 为 或 素数.

证明 6 (域的特征为零或素数)

设 域 的 环的特征 为正整数 . 因 , 有 . 若 不是 素数, 则存在整数 满足 且 . 特征的最小性给出 及 , 但分配律给出：

域中非零元素可逆, 乘以 的逆元便得 , 矛盾. 因而 为素数.

命题 7 (有限域的特征与阶)

设 为 有限域. 则存在 素数 及正整数 , 使其 环的特征 为 且 .

证明 8 (有限域的特征与阶)

在 有限域 中, 序列 必有重复, 相减得某个正整数倍的 为零. 由 域的特征为零或素数, 的 环的特征 是 素数 . 元素 构成与 整数模 环 同构的子域. 把 看成该子域上的 线性空间, 因 有限, 可取有限基, 设其维数为 . 每个向量的 个坐标各有 种选择, 故 .

推论 9 (素特征与 Frobenius 自同态)

设 为 环的特征 等于 素数 的 交换环. 则 是 的 Frobenius 自同态, 对任意 有 . 此结论不能只假设特征为任意正整数.

证明 10 (素特征与 Frobenius 自同态)

结论由 Frobenius 的环同态性 得到. 例如 整数模 环 的 环的特征 为 , 但 .

5. 相关概念

• 环
• 域
• 整数模 环
• 有限域
• Frobenius 自同态

6. 术语翻译

中文	英文
环的特征	characteristic of a ring
零特征	characteristic zero
正特征	positive characteristic