线性组合

1. 概述

于 线性代数 中, 线性组合 是用 标量 对有限个 向量 加权相加所得的向量. 它把选定向量能够到达的方向组织起来, 是 线性生成空间、线性无关 与 基 的基础.

在 模论 中, 线性空间的标量域可推广为环, 从而得到模上的线性组合.

2. 定义

定义 1 (线性组合)

设 为 域, 为 上的 线性空间, 为正 自然数, 且 . 若 可写为：

则称 为 的 线性组合.

定义 2 (模上的线性组合)

设 为 环, 为 -模, 为正 自然数, 且 . 若 可写为：

则称 为 的 线性组合.

3. 例子

例子 3 (线性代数中的例子)

设 为 向量, 则 为 的 线性组合.

4. 相关性质

命题 4 (线性组合的基本性质)

设 为 域, 为 线性空间, , 为 的 线性组合, . 则：

1. 与 仍为 的线性组合;
2. 每个 都是 的线性组合;
3. 的全部线性组合构成 线性生成空间.

证明 5 (线性组合的基本性质)

1. 写 、, 则 且 , 仍为线性组合.
2. 取系数 且其余系数为 , 即得 .
3. 由 线性生成空间 的定义, 该集合正是包含这些向量的最小 线性子空间.
   

5. 相关概念

• 线性生成空间;
• 线性无关;
• 基;
• 线性子空间;
• -模.

6. 术语翻译

中文	英文
线性组合	linear combination

线性代数 抽象代数 环论 初等数论 数学分析