矩阵

1. 概述

于 线性代数 中, 矩阵 是指排列成矩形表格的一系列 元素. 它亦是线性代数中的基础概念, 是 线性映射 的一种便于计算的形式.

2. 定义

定义 1 (矩阵)

设 为 集合, , 一个由 中 元素 所组成的 矩阵 是指形如：

的表格, 其中每个 都是 的元素.

记号 2 (矩阵)

上述 矩阵 通常记为：

3. 例子

例子 3 (数值矩阵)

设 为：

则 是 的 方阵, 其第 个 元素 为 .

4. 相关性质

注记 4 (约定)

若 矩阵 中的 集合 上定义了运算, 便可以定义 上矩阵的运算. 因此下方假设 是一个 环.

定义 5 (矩阵加法)

设有 矩阵 和 , 其中 , 定义 与 之和 为以下矩阵：

即对逐个 中 元素 逐个相加后的结果：

注记 6

环 上的 矩阵加法 满足 交换律, 此时 全体 矩阵连同加法构成交换群.

定义 7 (矩阵数乘)

设有 矩阵 以及 , 定义 矩阵数乘 为以下矩阵：

即将 中 元素 逐个乘上 .

注记 8

环 上的 全体 矩阵连同数乘构成 -模.

定义 9 (矩阵乘法)

设有 矩阵 和 矩阵 , 其中 , 定义 与 之积 为以下 矩阵：

其中的元素 由以下公式给出：

命题 10 (全体 矩阵连同加法构成交换群)

环 上所有 矩阵 的集合 连同 矩阵加法 构成 交换群, 其零元为 元素 皆为 的矩阵.

命题 11 (全体 矩阵连同数乘构成 -模)

环 上所有 矩阵 的集合 连同 矩阵数乘 构成 -模.

5. 相关概念

• 线性映射
• 方阵

6. 术语翻译

中文	英文
矩阵	matrix

线性代数