交错群

1. 概述

于 群论 中, 交错群 是 对称群 中全体偶 置换 所构成的 正规子群. 它记录了置换按对换分解时的奇偶性, 在有限群与方程可解性中尤为重要.

2. 定义

定义 1 (交错群)

设 , 为 阶 对称群. 称能够表示为偶数个 -循环 之积的置换为偶置换, 并称 集合：

在 复合 下构成的 群 为 阶 交错群.

3. 例子

例子 2 (低阶交错群)

• ;
• , 因而 ;
• 有 个元素, 且不是 交换群.

4. 相关性质

命题 3 (置换的奇偶性良定义)

一个有限 置换 不可能同时表示为偶数个对换之积与奇数个对换之积, 因而偶置换的定义与所选对换分解无关.

证明 4 (置换的奇偶性良定义)

对 , 记其逆序数为 , 并令 . 每复合一个对换都会改变逆序数的奇偶性, 因而若 是 个对换之积, 则 . 所以任意两种对换分解所含对换数具有相同奇偶性.

命题 5 (交错群是指数为 的正规子群)

当 时, , , 且 .

证明 6 (交错群的指数与群阶)

置换的奇偶性在 复合 下相乘, 因而偶置换构成 子群. 固定一个对换 , 映射 给出偶置换与奇置换之间的 双射, 故两者各占 的一半. 因此 且 ; 指数为 的子群的左右 陪集 相同, 故 .

命题 7 (交错群由 -循环生成)

当 时, 由 中的全体 -循环 生成.

证明 8 (交错群由 -循环生成)

每个偶置换都是偶数个对换之积. 将对换两两配对, 并使用 以及 , 即可将其写成 -循环之积.

5. 相关概念

• 对称群
• 置换
• -循环
• 正规子群

6. 术语翻译

中文	英文
交错群	alternating group
偶置换	even permutation