1. 概述
于 范畴论 中, 自然变换 是两个 函子 之间逐对象给出的态射族, 并要求这些态射与原范畴中的每个态射相容. 所谓“自然”, 正由所有自然性方块同时交换来表达.
2. 定义
定义 1 (自然变换)
设
为 函子. 称态射族 为从 到 的 自然变换, 当对每个态射 , 下图交换：
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^{F(f)} \ar[d]{\eta_X} & F(Y) \ar[d]^{\eta_Y} \
G(X) \ar[r]{G(f)} & G(Y)
}即
.
记号 2 (自然变换)
从
到 的 自然变换 记为 .
定义 3 (自然同构)
3. 例子
例子 4 (单位自然变换)
4. 相关性质
命题 5 (自然变换的竖直复合)
若
、 为 自然变换, 则 定义自然变换 .
证明 6 (自然变换的竖直复合)
对任意
, 将两个 自然变换 与 的自然性方块上下拼接：
\xymatrix{
F(X) \ar[r]^{F(f)} \ar[d]{\eta_X} & F(Y) \ar[d]^{\eta_Y} \
G(X) \ar[r]^{G(f)} \ar[d]{\theta_X} & G(Y) \ar[d]^{\theta_Y} \
H(X) \ar[r]_{H(f)} & H(Y)
}外框交换即为复合的自然性.
5. 相关概念
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 自然变换 | natural transformation |
| 自然同构 | natural isomorphism |