余极限

1. 概述

于 范畴论 中, 余极限 是一个 图表 上最普遍的 余锥, 亦即 极限 在 对偶范畴 中的对应概念. 它统一了 始对象、余积、余等化子 与 推出.

2. 定义

定义 1 (余极限)

设 为 图表. 称 余锥 为 的 余极限, 若其同时满足：

1. 对象 ;

2. 态射族 ;

3. 对任意态射 , 使得下图 交换：
   \xymatrix{
   D(i) \ar[rr]^{D(\alpha)} \ar[rd]_{\lambda_i} & & D(j) \ar[ld]^{\lambda_j} \
   & L &
   }

4. 对任意 余锥 , 存在唯一态射 满足 , 即使得下图 交换：
   \xymatrix{
   D(i) \ar[r]^{\lambda_i} \ar@/0pc/[rd]{\nu_i} & L \ar@{—>}[d]^u & D(j) \ar[l]_{\lambda_j} \ar@/^0pc/[ld]^{\nu_j} \
   & N &
   }

记号 2 (余极限)

图表 的 余极限 记为：

别名 3 (余极限)

余极限 亦被称为 正向极限, 直极限 或 归纳极限.

3. 例子

例子 4 (常见余极限)

• 空图表的 余极限 是 始对象；
• 离散双对象图表的余极限是 余积；
• 并行箭头图表的余极限是 余等化子；
• 屋形图表 的余极限是 推出.

4. 相关性质

命题 5 (余极限在唯一同构意义下唯一)

同一 图表 的任意两个 余极限 之间存在唯一保持所有 余锥 分量的同构.

证明 6 (余极限在唯一同构意义下唯一)

将 余极限 视为 对偶范畴 中的极限, 再应用 极限在唯一同构意义下唯一.

5. 相关概念

• 极限；
• 余完备范畴.

6. 术语翻译

中文	英文
余极限	colimit
正向极限	direct limit
直极限	direct limit
归纳极限	inductive limit

范畴论