极限

1. 概述

于 范畴论 中, 极限 是一个 图表 上最普遍的 锥. 它统一了 终对象、积、等化子 与 拉回.

2. 定义

定义 1 (极限)

设 为 图表. 称 锥 为 的 极限, 若其同时满足：

1. 为 中的 对象;

2. 态射族 ;

3. 对任意态射 , 使得下图 交换：
   \xymatrix{
   & L \ar@{->}[ld]_{\lambda_i} \ar@{->}[rd]^{\lambda_j} & \
   D(i) \ar@{->}[rr]^{D(\alpha)} & & D(j)
   }

4. 对任意 锥 , 存在唯一态射 满足 , 即使得下图 交换：
   \xymatrix{
   & N \ar@{—>}[d]^u \ar@/^0pc/[ld]_{\nu_i} \ar@/0pc/[rd]^{\nu_j} & \
   D(i) & L \ar[l]^{\lambda_i} \ar[r]{\lambda_j} & D(j)
   }

记号 2 (极限)

图表 的 极限 记为：

别名 3 (极限)

极限 亦被称为 逆向极限 或 投射极限.

3. 例子

例子 4 (常见极限)

• 空图表的 极限 是 终对象；
• 离散双对象图表的极限是 积；
• 并行箭头图表的极限是 等化子；
• 余屋形图表 的极限是 拉回.

4. 相关性质

命题 5 (极限在唯一同构意义下唯一)

同一 图表 的任意两个 极限 之间存在唯一保持所有 锥 分量的同构.

证明 6 (极限在唯一同构意义下唯一)

两个 极限 各自对另一个极限的 锥 给出唯一比较态射. 两个方向的复合与 恒同态射 具有相同的全部 锥 分量, 故由唯一性相等.

5. 相关概念

• 余极限；
• 完备范畴.

6. 术语翻译

中文	英文
极限	limit
逆向极限	inverse limit
投射极限	projective limit

范畴论