Grothendieck 宇宙

1. 概述

粗略的说, 范畴 是由 一族 对象 (例如 集合, 或者各种 代数结构) 以及这些对象间的一族 态射 所构成的结构, 但如果只使用集合承载这些范畴中的对象, 例如考虑 集合范畴 , 那么对象集 就是 “所有集合的集合”, 而 将包含自身作为 中的对象, 亦即 , 这就会导致类似 Russell 悖论 的问题产生, 从而与 Zermelo-Fraenkel 集合论 的 Zermelo-Fraenkel 集合论 > ^a74d34 相矛盾.

为了避免此类问题发生, 可以考虑采取以下一些补救方案：

1. 考虑 Von Neumann-Bernays-Gödel 集合论, 类 在该集合论中是基础的元件, 而 集合 则被定义为 “可以为其他类的元素的类”, 而所谓的 类 > ^e98239 就是不可以为其他任何类的元素的类, 因此考虑使用真类作为对象集的定义;
2. 仍将对象集定义为 集合, 但对该集合施加除 Zermelo-Fraenkel 集合论 以外更多的公理, 以保证集合的大小总是处于合适的范围内, 称该集合为 Grothendieck 宇宙 (简称 宇宙).

如果采用 方案 1, 我们无法在 类 > ^e98239 上量化, 即如果我们考虑一些真类上的问题, 那么由所有真类 成的范畴, 其中 “所有真类的类” 依然会导致问题, 因此该方案被否决掉了.

方案 2 正是我们所需的, 宇宙就像是一道 “防火墙”, 在其内可以进行绝大部分常规的集合论操作而不涉及到 类, 并阻止了不合法, 有可能违反规则的操作.

事实上一个宇宙 的实现方式也很明确, 既然不允许 “所有集合的集合” 使得 , 那么我们可以对这些集合分层, 例如令 是所有 层级上的集合, 它是 层级集合 的元素 (其中 ), 同样地 (其中 ), 将这个过程不断持续下去便可得到：

那么所谓的宇宙 就类似于容纳了 “所有 层级集合” 的 ” 层集合” 这一语境, 并且容许了绝大多数 集合 的基本操作, 诸如 层级集合的交, 并, 幂集仍是 中的元素.

2. 定义

定义 1 (Grothendieck 宇宙)

设 为 集合, 称满足了以下条件的 为一个 Grothendieck 宇宙：

1. 且 ;
2. 若 且 , 则 ;
3. 若 , 则 ;
4. 若 , 则 ;
5. 对任意 , 若 为一 集族 使得 且 , 则 ;

注记 2

历史上, 定义 中的 是不必要的, 但在如今大多数书本上我们仍要求这个性质. 现在让我们讨论一些关于宇宙的相关结论.

定义 3 (-集 与 -小集)

设 为任意集合, 且 为宇宙, 分别定义：

• 若 , 则称之为 -集;
• 若 与某一个 -集 等势, 则称之为 -小集;
• 若 并非 -小集, 则称之为 -大集.

3. 相关性质

3.1. 基本性质

命题 4 (宇宙的基本性质)

设 为一个宇宙：

1. 若 , 则 ;
2. 若 , 则 ;
3. 若 且 , 则 ;
4. 若 , 则任意 的 商集 仍是 的元素;
5. 对任意 , 若 为一 集族 使得 且 , 则 ;
6. 若 , 则任意 与 之间的 映射 仍是 的元素;
7. 若 , 则任意 与 之间对应的 集合 仍是 的元素;
8. 对任意 , 若 为一 集族 使得 且 , 则 ;
9. 若 且存在 使得 , 则 ;
10. 对任意 , 宇宙 总是包含了 基数 为 的 有限集.

命题 5 (宇宙的集族之交仍是宇宙)

设 为宇宙的 集族, 那么 非空 集族之 交 仍是一个 宇宙.

3.2. 与不可达基数的关系

公理 6 (宇宙公理)

设 为任意集合, 皆存在宇宙 使得 .

4. 相关概念

• 小, 大集
• 类 > ^e98239
• Tarski-Grothendieck 集合论

5. 术语翻译

中文	英文
Grothendieck 宇宙	Grothendieck universe
-集	-set
-小集	-small set
-大集	-large set

集合论