分裂域

1. 概述

于 Galois 理论 中, 分裂域 是使给定多项式完全分解为一次因子的最小域扩张. 它为多项式的全部根提供共同环境.

2. 定义

定义 1 (分裂域)

设 为非零 多项式, 为 域扩张. 若 在 中分裂为一次因子之积, 且 由 的全部根在 上生成, 则称 为 在 上的 分裂域.

3. 例子

例子 2 (二次多项式)

是 的 分裂域, 因为它包含两个根 并由这些根生成.

4. 相关性质

定理 3 (分裂域的存在唯一性)

每个非零多项式 都存在 分裂域, 且任意两个分裂域之间存在固定 的域同构.

证明 4 (分裂域的存在唯一性)

存在性

逐次在不可约因子所生成的单扩张中加入一个根, 并对剩余因子归纳即可.

唯一性

将 上同构逐次延拓到所加入根生成的单扩张, 最终得到两个分裂域之间固定 的同构.

5. 相关概念

• 最小多项式
• 代数闭包
• 正规扩张
• Galois 群

6. 术语翻译

中文	英文
分裂域	splitting field