幂等律

1. 概述

于 代数结构 中, 幂等律 表示一个 元素 与自身施行指定 运算 后仍得到自身. 满足该条件的元素称为幂等元; 若所有元素都满足, 则称该运算具有幂等性.

2. 定义

定义 1 (幂等律)

设 为 集合, 为 上的 二元运算. 称 满足 幂等律, 当：

定义 2 (幂等元)

设 . 若 , 则称 为关于 的 幂等元.

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 幂集 上的 并集 与 交集 满足 幂等律, 因为 ;
• 任意 集合 上的恒等 映射 在 复合 下是 幂等元;
• 群 的乘法通常不满足幂等律.

4. 相关性质

命题 4 (幂等元的正整数次幂不变)

设 为满足 结合律 的 运算, 为 幂等元. 则对任意正 自然数 都有 .

证明 5 (幂等元的正整数次幂不变)

对 使用 数学归纳法. 若 , 则 .

命题 6 (群中只有幺元是幂等元)

设 为 群, 为其幺元. 若 满足 , 则 .

证明 7 (群中只有幺元是幂等元)

由 左消除律 从 得 .

5. 相关概念

• 幂等态射
• 结合律
• 吸收律

6. 术语翻译

中文	英文
幂等律	idempotent law
幂等元	idempotent element

一般数学 代数性质