T1 空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 空间 是每个单点集都闭的拓扑空间. 在这种空间中, 任意一点都能用开邻域排除另一个指定点.

2. 定义

定义 1 ( 空间)

设 为 拓扑空间. 若对任意 , 单点集 都是 闭集, 则称 为 空间.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 每个 Hausdorff 空间 都是 空间;
• 任意集合上的 余有限拓扑 满足 ;
• 含至少两个点的 平凡空间 不满足 .

4. 相关性质

命题 3 ( 的邻域刻画)

拓扑空间 是 空间 当且仅当对任意不同点 , 都存在 的 开邻域 不包含 .

证明 4 ( 的邻域刻画)

若 闭, 则 是包含 而不包含 的开集. 反之, 若对每个 都有包含 而不包含 的开集, 则 是这些开集之并, 因而开, 故 闭.

命题 5 (有限集在 空间中闭)

空间 的每个 有限子集 都是 闭集.

证明 6 (有限集在 空间中闭)

有限子集是有限多个闭单点集的并, 由闭集对有限并封闭得证.

5. 相关概念

• T0 空间
• Hausdorff 空间
• 分离公理
• 闭集

6. 术语翻译

中文	英文
空间	space

一般拓扑