拓扑序列收敛

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 拓扑序列收敛 用邻域描述序列最终停留在某点任意局部范围内的行为. 在第一可数空间中, 序列足以刻画闭包与连续性.

2. 定义

定义 1 (拓扑序列收敛)

设 为 拓扑空间 中的 序列, . 若对 的每个 邻域 , 都存在 使对所有 有 , 则称 收敛 到 .

记号 2 (拓扑序列收敛)

序列 收敛 到 记为 .

3. 例子

例子 3 (实数序列)

在具有 通常拓扑 的 中, 序列 按 拓扑序列收敛 到 .

4. 相关性质

命题 4 (连续映射保持序列收敛)

若 是 拓扑序列收敛 且 是 连续映射, 则 .

证明 5 (连续映射保持序列收敛)

对 的任意 邻域 , 由 点处连续 可取 的邻域 使 . 序列最终位于 , 故像序列最终位于 .

命题 6 (Hausdorff 空间中序列极限唯一)

在 Hausdorff 空间 中, 每个序列至多具有一个 极限.

证明 7 (Hausdorff 空间中序列极限唯一)

序列是以 为指标的 网, 由 Hausdorff 空间中网的极限唯一 得证.

5. 相关概念

• 网的收敛
• 第一可数空间
• 邻域
• 序列极限

6. 术语翻译

中文	英文
拓扑序列收敛	convergence of a sequence in a topological space

一般拓扑