素理想

1. 概述

于 环论 中, 素理想 是使乘积落入其中时至少吸收一个因子的 真理想. 它们是环的素谱中的点, 并由整环商刻画.

2. 定义

定义 1 (素理想)

设 为 交换环, 为 真理想. 称 为 素理想, 当对任意 ：

3. 例子

例子 2 (整数环中的素理想)

在 整数环 中, 零理想 与 对每个 素数 都是 素理想.

4. 相关性质

命题 3 (素理想的商环刻画)

设 为 交换环, . 则 是 素理想 当且仅当 商环 是 整环.

证明 4 (素理想的商环刻画)

充分性 ( )

若 为 素理想 且 , 则 , 从而 或 . 因此 或 .

必要性 ( )

若 为整环且 , 则 . 因商环无零因子, 或 为零, 即 或 .

命题 5 (素理想与乘法闭集)

设 为 交换环, . 则 是 素理想 当且仅当 是 乘法闭集.

证明 6 (素理想与乘法闭集)

充分性 ( )

若 为 素理想, 则 , 所以 . 若 , 素性条件的逆否命题给出 , 故补集乘法封闭.

必要性 ( )

若 是乘法闭集, 则 , 所以 为真理想. 若 而 , 则乘法封闭性给出 , 矛盾. 因而 或 .

5. 相关概念

• 极大理想
• 根理想
• 局部化
• 整环

6. 术语翻译

中文	英文
素理想	prime ideal