概形的点与剩余域

1. 概述

于 代数几何 中, 概形的点不仅具有拓扑位置, 还带有记录其坐标所在域的剩余域. 在仿射概形中, 点正是素理想.

注记 1 (直观理解)

点集只回答“有哪些位置”, 剩余域 还回答“在这个位置上坐标落在哪个域中”. 域值点 则是在选定一个底层点后, 再把它的剩余域嵌入 ; 三者不应混为一谈.

2. 定义

定义 2 (概形点的剩余域)

设 为 概形, . 令 为 局部环 的唯一极大理想. 称 商环：

为点 的 剩余域.

3. 例子

例子 3 (仿射谱中的点)

在 中, 点 的 概形点的剩余域 为：

例子 4 (仿射直线的闭点与泛点)

设 为 代数闭域, . 对闭点 , 剩余域 为 . 对泛点 , 剩余域为 , 即整条直线的 函数域.

例子 5 (非代数闭域上的闭点)

设 为 域, 为不可约多项式. 点 是 的闭点, 且其 剩余域 为 . 当 时, 这个点不能由某个 写成 ; 扩张到底域的 代数闭包 后, 才能由相应的几何点研究它.

4. 相关性质

命题 6 (域值点的像)

设 为 域. 每个 概形态射 确定一个点 及一个 域嵌入 , 其中 是 概形点的剩余域. 反之, 这样的资料唯一确定相应态射.

5. 相关概念

• 素谱
• 点函子
• 有理点
• 剩余域
• 域值点
• 泛点

6. 术语翻译

中文	英文
剩余域	residue field
域值点	field-valued point