预层

1. 概述

于 层论 中, 预层 是从一个 范畴 的对偶范畴到 集合范畴 的 反变函子. 它把每个对象上的资料和每个态射诱导的限制映射统一编码, 是定义 层 的代数起点.

2. 定义

定义 1 (预层)

设 为 范畴. 从 到 集合范畴 的 反变函子：

称为 上的 预层.

记号 2 (预层)

预层 通常记为 ; 对 态射 , 其像 称为 限制映射.

定义 3 (预层的箭头表述)

设 为 范畴. 对每个 对象 指定一个 集合 , 对每个 态射 指定一个 映射 . 若满足：

1. 对每个 , 为 恒同态射;
2. 对任意 , 有 .
   则这些资料构成 上的 预层.

3. 例子

例子 4 (拓扑空间上的预层)

设 为 拓扑空间, 以 开集 按包含关系组成的 偏序范畴 为 . 给每个开集 配置一个 集合 , 并把包含 送到函数限制 限制映射, 得到 预层.

4. 相关性质

命题 5 (预层的两种定义等价)

设 为 范畴. 预层 的反变函子定义与 预层的箭头表述 等价.

证明 6 (预层的两种定义等价)

正向 ( )

给定反变 函子 , 对每个 对象 取 , 对每个 态射 取 . 函子 保持 恒同态射 与 复合, 故满足箭头表述的两条条件.

反向 ( )

给定箭头表述中的赋值, 将每个对象送到 , 将每个态射 送到 . 两条条件正是从 到 集合范畴 的 函子 公理, 因而得到 预层.

5. 相关概念

• 反变函子
• 函子
• 层
• 预层
• 限制映射
• 层化

6. 术语翻译

中文	英文
预层	presheaf