整数加法群

1. 概述

整数加法群 是 整数 集合 在通常加法下构成的 交换群. 它是无限 循环群 的标准模型, 所有无限循环群都与它 群同构.

2. 定义

定义 1 (整数加法群)

整数 集合 对通常的加法封闭, 加法满足 结合律 与 交换律, 幺元为 , 的逆元为 . 称所得 群 为 整数加法群.

3. 例子

例子 2 (倍数子群)

对每个 , 倍数集 是 定义 1 (整数加法群) 的 子群. 当 时, 映射 给出 .

4. 相关性质

命题 3 (整数加法群由 生成)

, 因而 是 循环群.

证明 4 (整数加法群由 生成)

对任意 , 有 , 故两个元素均生成整个 .

命题 5 (整数加法群的子群)

的每个 子群 都唯一形如 , 其中 .

证明 6 (整数加法群的子群)

若 , 取 . 否则 含正整数, 取其中最小者 . 对任意 , 以带余除法写 且 , 则 . 由 的最小性得 , 故 ; 反向包含由 得到. 是 的最小正元, 因而唯一.

5. 相关概念

• 整数模 加法群
• 循环群
• 交换群

6. 术语翻译

中文	英文
整数加法群	additive group of integers