有限群

1. 概述

于 群论 中, 有限群 是基础 集合 只含有限个元素的 群. 有限群的元素数称为其 群阶, 这个数对子群与元素的可能阶数给出了强限制.

2. 定义

定义 1 (有限群)

设 为 群. 若其基础 集合 为 有限集, 则称 为 有限群.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 整数模 加法群 是群阶为 的 有限群;
• 对称群 是群阶为 的有限群;
• 有限群的每个 子群 与 商群 都是有限群.

4. 相关性质

命题 3 (有限群中每个元素都有有限阶)

设 为 有限群, , 则 , , 且 .

证明 4 (有限群中元素的阶)

循环群 是 的 子群, 故其群阶 有限. 由 Lagrange 定理, , 从而 .

命题 5 (有限群的自映射中单射等价于满射)

设 为 有限群, 为 群同态, 则 为 单射 当且仅当 为 满射.

证明 6 (有限群的自映射中单射等价于满射)

充分性 ( )

若 为单射, 则 . 由 与 有限得 , 故 为满射.

必要性 ( )

若 为满射, 则 . 有限集上的满射自映射必为单射.

5. 相关概念

• 群
• 群阶
• 循环群

6. 术语翻译

中文	英文
有限群	finite group