邻域

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 邻域 是包含某点周围一个 开集 的子集. 邻域把拓扑的整体开集结构转化为逐点的局部语言.

2. 定义

定义 1 (邻域)

设 为 拓扑空间, , . 若存在 开集 使 , 则称 为 的 邻域.

记号 2 (邻域系)

点 的全部 邻域 所成的集合记为 .

3. 例子

例子 3 (实数中的邻域)

在具有 通常拓扑 的 中, 对任意 , 区间 是 的 邻域. 任何包含该区间的子集也都是 的邻域.

4. 相关性质

命题 4 (邻域系的基本性质)

设 为 拓扑空间 中的点. 则：

1. 每个 邻域 都包含 ;
2. 邻域的超集仍为邻域;
3. 有限多个邻域的交仍为邻域.

证明 5 (邻域系的基本性质)

1. 由 邻域 的定义直接成立.
2. 若 且 为 开集, 则 为邻域.
3. 分别取开集 满足 . 由 开集的基本封闭性 的第 3 条, 为包含 的开集且包含于 .
   

5. 相关概念

• 局部基
• 开集
• 内部
• 拓扑序列收敛

6. 术语翻译

中文	英文
邻域	neighborhood
邻域系	neighborhood system

一般拓扑