逆元律

1. 概述

于 代数结构 中, 逆元律 表示每个 元素 都能与另一个元素经由 运算 相消而得到幺元. 它是从 幺半群 过渡到 群 的关键条件.

2. 定义

定义 1 (逆元律)

设 为 集合, 为 上的 二元运算, 满足 单位律. 称 满足 逆元律, 当：

此时称 为 的 逆元.

记号 2 (逆元)

当 逆元律 给出的逆元唯一时, 的逆元通常记为 .

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 整数加法群 满足 逆元律, 的逆元为 ;
• 有理数 的非零元素在乘法下满足逆元律, 的逆元为 ;
• 自然数 加法幺半群 不满足逆元律, 因为正自然数在 中没有加法逆元.

4. 相关性质

命题 4 (逆元的唯一性)

设 为 幺半群, . 若 均为 的双侧逆元, 则 , 即逆元具有 唯一性.

证明 5 (逆元的唯一性)

由 结合律、单位律 与 逆元律 可得 .

命题 6 (乘积的逆元)

设 为 群, . 则：

1. ;
2. .

证明 7 (乘积的逆元)

1. 由 结合律 与 逆元律 有 , 故 是 的逆元; 再由逆元的 唯一性 得 .
2. 由 可知 是 的逆元; 再由逆元的唯一性得 .
   

5. 相关概念

• 单位律
• 群
• 单位群

6. 术语翻译

中文	英文
逆元律	inverse law
逆元	inverse element

一般数学 代数性质