Euclid 空间

1. 概述

Euclid 空间 是带有标准内积和由此诱导的范数、距离的有限维 线性空间. 它同时保留代数运算、长度和角度, 是 数学分析、一般拓扑学 与微分几何中最基本的模型空间.

2. 定义

定义 1 (Euclid 空间)

设 , 在实 线性空间 上定义标准内积：

由此定义范数 与距离 . 带有这些结构的 称为 维 Euclid 空间; 当 时, 是单点的零维 Euclid 空间.

记号 2 (Euclid 空间)

Euclid 空间 中半径为 、中心为 的 开球 记为：

别名 3 (Euclid 空间)

中文文献中也将 Euclid 空间 称为欧氏空间.

3. 例子

例子 4 (平面与空间)

时, 是 Euclid 空间, 且 . 时得到通常的三维 Euclid 空间.

例子 5 (坐标子空间)

对 , 是 的 线性空间 子空间, 并继承 Euclid 范数.

4. 相关性质

命题 6 (Euclid 范数的基本性质)

对任意 与 , Euclid 空间 的范数满足：

1. , 且 当且仅当 ;
2. ;
3. .

证明 7 (Euclid 范数的基本性质)

1. 由 得非负性与零点判别.
2. , 两边取非负平方根即得.
3. 由 Cauchy—Schwarz 不等式 , 展开 即得.
   

命题 8 (Euclid 空间的完备性)

由 Euclid 空间 距离定义的每个 Cauchy 序列 都收敛于 中的点.

5. 相关概念

• 度量空间;
• 开球;
• 线性空间;
• 多元函数的极限;
• 一般拓扑学.

6. 术语翻译

中文	英文
Euclid 空间	Euclidean space
欧氏空间	Euclidean space
Euclid 范数	Euclidean norm
标准内积	standard inner product

一般数学