局部环

1. 概述

于 环论 中, 局部环 是只有一个 极大理想 的 交换环. 它描述一个空间在单个点附近的代数信息, 并可由在素理想处进行 局部化 得到.

注记 1 (动机)

研究空间在一点附近的性质时, 全局函数环往往保留了过多与该点无关的信息. 局部环 将注意力集中在该点附近可逆与不可逆的元素, 为局部问题提供代数模型.

注记 2 (直观理解)

对具有几何来源的 局部环, 可将唯一 极大理想 理解为在指定点消失的函数所组成的集合, 而它之外的元素在该点附近不消失, 因而表现为 单位. 对极大理想取商得到的 剩余域 则记录该点上的取值信息.

注记 3 (方法与视角)

常先通过 素理想处的局部化 构造 局部环, 再用 局部环的单位判别 将可逆性问题转化为对唯一极大理想的判断. 对 有限生成模 的局部问题, Nakayama 引理 是消去冗余生成元和判定模消失的基本工具.

2. 定义

定义 4 (局部环)

称 交换环 为 局部环, 当 恰有一个 极大理想 .

记号 5 (局部环)

局部环 的唯一 极大理想 常记为 .

注记 6 (剩余域)

局部环 的唯一 极大理想 为 时, 相应商域 是它的 剩余域.

3. 例子

例子 7 (域与素理想处的局部化)

• 任意 域 都是 局部环, 其唯一 极大理想 为 ;
• 若 为交换环且 为 素理想, 则 局部化 是 局部环, 其唯一极大理想为 .

4. 相关性质

命题 8 (局部环的单位判别)

设 为非零 交换环. 以下条件等价：

1. 是 局部环;
2. 的非 单位 全体构成一个理想;
3. 对每个 , 与 中至少一个是单位.

证明 9 (局部环的单位判别)

设 为唯一极大理想. 单位不属于任何真理想; 对每个非单位 , 主理想 为真理想, 由 极大理想的存在性 包含于某个极大理想, 故非单位全体恰为 .

若 与 都是非单位, 则它们的和 属于非单位理想, 矛盾.

任取两个极大理想 . 若它们不同, 可取 . 由极大性, , 故存在 与 使 . 于是 与 分别位于真理想 与 , 因而均非单位, 与 (3) 矛盾.

定理 10 (Nakayama 引理)

设 为 局部环, 为 有限生成 -模. 若 , 则 .

证明 11 (Nakayama 引理)

若 , 从 的有限生成集中取元素个数最少的一组 . 由 , 存在 使 . 因而：

由 局部环的单位判别, 是单位, 故 可由 生成, 与所选生成集的最小性矛盾.

5. 相关概念

• 极大理想
• 局部化
• 剩余域
• 有限生成模

6. 术语翻译

中文	英文
局部环	local ring
剩余域	residue field