主理想

1. 概述

于 环论 中, 主理想 是由单个元素生成的 理想. 它把元素的 整除性 转化为理想之间的包含关系.

2. 定义

定义 1 (主理想)

设 为 交换环, . 称：

为由 生成的主理想.

3. 例子

例子 2 (整数环中的主理想)

在 整数环 中, 是全体 的倍数所构成的 定义 1 (主理想).

4. 相关性质

命题 3 (整除与主理想包含)

设 为 交换环, . 则 当且仅当 .

证明 4 (整除与主理想包含)

充分性 ( )

若 , 则 对某个 成立, 因而 , 所以 .

必要性 ( )

若 , 则 , 故存在 使 , 即 .

命题 5 (主理想相等的单位判别)

设 为 整环, 且均非零. 则 当且仅当存在 单位 使 .

证明 6 (主理想相等的单位判别)

充分性 ( )

若 且 为单位, 则 与 , 由 主理想 的定义与 整除与主理想包含 得 .

必要性 ( )

若 , 则存在 使 与 . 于是 ; 因 且 是整环, 消去 得 , 故 为单位且 .

5. 相关概念

• 生成理想
• 主理想环
• 整除

6. 术语翻译

中文	英文
主理想	principal ideal