1. 概述 于 环论 中, 主理想 是由单个元素生成的 理想. 它把元素的 整除性 转化为理想之间的包含关系. 2. 定义 定义 1 (主理想) 设 为 交换环, . 称： 为由 生成的主理想. 3. 例子 例子 2 (整数环中的主理想) 在 整数环 中, 是全体 的倍数所构成的 主理想. 4. 相关性质 命题 3 (整除与主理想包含) 设 为 交换环, . 则 当且仅当 . 证明 4 (整除与主理想包含) 充分性 ( ) 若 , 则 对某个 成立, 因而 , 所以 . 必要性 ( ) 若 , 则 , 故存在 使 , 即 . 命题 5 (主理想相等的单位判别) 设 为 整环, 且均非零. 则 当且仅当存在 单位 使 . 证明 6 (主理想相等的单位判别) 充分性 ( ) 若 且 为单位, 则 与 , 由 主理想 的定义与 整除与主理想包含 得 . 必要性 ( ) 若 , 则存在 使 与 . 于是 ; 因 且 是整环, 消去 得 , 故 为单位且 . 5. 相关概念 生成理想 主理想环 整除 求值同态 6. 术语翻译 中文英文主理想principal ideal