非空集

1. 概述

于 集合论 中, 非空集 (或称 居留集) 是至少拥有一个 元素 的 集合. 从 集合范畴 的观点看, 非空等价于唯一映射 是 满射.

2. 定义

定义 1 (非空集)

设 为 集合, 若 , 则称 为 非空集. 等价地, .

3. 例子

例子 2 (基本例子)

• 任意 单点集 都是 非空集;
• 自然数集 是非空集, 因为 ;
• 是非空集, 尽管它唯一的元素是 空集.

4. 相关性质

命题 3 (非空性的基本判别)

设 为 集合, 为 集族, 则：

1. 非空当且仅当存在映射 ;
2. 非空当且仅当 与 都非空;
3. 非空当且仅当存在 使 非空.

证明 4 (非空性的基本判别)

1. 映射 由 的像确定, 因而这种映射存在当且仅当可选取某个 .
2. 若 , 则 且 ; 反之, 从 与 可得 .
3. 按 并集 的定义, 当且仅当存在 使 .
   

5. 相关概念

• 空集
• 单点集
• 居留对象

6. 术语翻译

中文	英文
非空集	nonempty set
居留集	inhabited set

集合论