数学笔记

Zermelo-Fraenkel 集合论

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1. 概述

Zermelo-Fraenkel 集合论 (或简称 ZF 集合论) 是一种基于 一阶逻辑 的 集合论公理系统, 它包含了一套 公理. 现如今它是作为主流数学最重要的基础之一.

2. 公理

将一切元素理解为集合

  • 对于下述即将列出的一系列 公理, 若 (这里应当将 视为二元 谓词), 则称 为 的 元素.
  • Zermelo-Fraenkel 集合论 中处理的所有对象 等都应被视为 集合, 例如上述 表明集合 的 元素 也应是一个集合, 并且切记不要将集合 与 混淆.

2.1. 外延公理

公理 1 (外延公理)

注记 2 (外延公理)

可以认为上述的 外延公理 定义了谓词 , 即如果两个集合 是等价的, 当且仅当它们的任意 元素 互相属于对方的 集合.

2.2. 空集公理

公理 3 (空集公理)

总是存在一个 集合 , 使得对任意 元素 , 它都不不含于 中, 即：

且可将 记为 , 并将 记为 , 同时称 为 空集.

注记 4 (空集公理)

由 外延公理 可知该空集 唯一.

2.3. 配对公理

公理 5 (配对公理)

对任意 , 存在 集合 , 其 元素 恰好就是 与 , 即：

且将 记为 . 此外当 时则记为 .

注记 6 (配对公理)

X \times Y \coloneqq \Set{ (x, y) : x \in X, y \in Y }

并且可推广为有限多个集合的积集合间的映射则等同于并使得对每个交集是单点集记为

2.4. 分离公理

公理 7 (分离公理模式)

设 为关于 元素 的一个性质 , 则总是存在由满足 的元素所构成的 集合, 即：

2.5. 并集公理

公理 8 (并集公理)

对任意 集族 , 总是存在相应的 并集 , 它是所有 中 集合 的并, 即：

并将 记为 或 . 此外当 时则记为 .

注记 9 (并集公理)

2.6. 幂集公理

公理 10 (幂集公理)

对任意 集合 , 它的所有 子集 构成一 集族 , 即：

并将 记为 , 称其为关于 的 幂集.

注记 11 (幂集公理)

2.7. 无穷公理

公理 12 (无穷公理)

在 Zermelo-Fraenkel 集合论 中, 无限集 是存在的, 即：

注记 13 (无穷公理)

该公理可以类比 Peano 公理, 将 ” 视为 ”, 再将 视为 ” 的后继数 ”, 例如视 的后继数是 , 而 的后继数则是 , 不断如此递归下去则有：

2.8. 替换公理

公理 14 (替换公理模式)

设 为以一个 集合 作为定义域的 映射, 则存在集合 , 称其为函数 下的一个 像 或 值域.

2.9. 正则公理

公理 15 (正则公理)

任意 非空集 中至少含有一个 元素 , 使之它与 的 交集 是 空集, 即：

注记 16 (正则公理)

  • 该公理偶尔亦被称为 良基公理 或 基础公理.
  • 它包含以下两个重要的推论, 利用它们我们可以构建起 集合 的层垒谱系, 例如 Grothendieck 宇宙.

推论 17 (不存在以自身为元素的集合)

推论 19 (不存在无限递降的集合列)

4. 相关概念

5. 术语翻译

中文英文
Zermelo-Fraenkel 集合论Zermelo-Fraenkel set theory

集合论

关系图谱

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