Frobenius 自同态

1. 概述

于 Galois 理论 中, Frobenius 自同态 是素特征 交换环 上由取素数次幂得到的 环自同态. 在 有限域 上它是自同构, 其迭代与 不动域 将有限域的元素运算同 Galois 群 联系起来.

注记 1 (直观理解)

Frobenius 自同态 把取幂变成保持加法和乘法的操作. 在 有限域 上, 它重新排列全部元素; 固定某次迭代的元素恰好组成相应的子域.

2. 定义

定义 2 (Frobenius 自同态)

设 为 素数, 为 特征 等于 的 交换环. 称 映射：

为 的 Frobenius 自同态. 这里环均含乘法幺元.

记号 3 (Frobenius 自同态)

Frobenius 自同态 的 次复合记为 , 其中 为非负整数, , 且 . 当 且环境环明确时, 常用 表示 次幂映射, 即 ; 下标 在这里指幂指数, 不指其定义域.

注记 4 (自同态与自同构)

Frobenius 自同态 总是 环同态, 但一般不一定是 自同构. 在 有限域 上它是自同构, 因而也称 Frobenius 自同构; 详见 有限域上的 Frobenius 自同构.

3. 例子

例子 5 (素数阶有限域)

设 为 素数. 有限域 的 Frobenius 自同态 是恒同映射：它保持加法并固定 , 因而固定每个 , 其中 .

例子 6 (九阶有限域上的共轭)

设 为不定元. 多项式 在 中无根, 因而不可约. 取 商环 , 并以 表示 的剩余类. 这给出一个 有限域, 其中 且每个元素唯一写成 , .
其 特征 为 , 所以 , 这并不表示域中只有三个元素. 其 Frobenius 自同态 满足：

九个元素的像如下, 表内系数均按模 运算：

因而 , 而 ; 它的不动元素恰为 .

4. 相关性质

命题 7 (Frobenius 的环同态性)

设 为 素数, 为 特征 等于 的 交换环. 则 Frobenius 自同态 是保持幺元的 环同态.

证明 8 (Frobenius 的环同态性)

因 是 交换环, 对任意 可用二项式展开. 对 , 素数 整除 , 故由 特征 为 得：

交换性还给出 , 且 . 因而 Frobenius 自同态 保持加法、乘法与幺元, 是 环同态.

命题 9 (有限域上的 Frobenius 自同构)

设 为 特征 等于 素数 的 有限域. 则 Frobenius 自同态 是 的 自同构.

证明 10 (有限域上的 Frobenius 自同构)

由 Frobenius 的环同态性, 是 环同态. 若 , 则 . 因 域 中非零元素可逆, 有 , 故 为 单射. 又因 是 有限集, 该自映射也是 满射, 从而是 自同构.

命题 11 (代数闭包中的 Frobenius 不动域)

设 为 素数, , 为正整数. 固定 有限域 的 代数闭包 及包含 . 在 上令 , 它是 Frobenius 自同态 的 次迭代. 则 是 自同构, 且其 次迭代的 不动域 满足：

这里 特指 中唯一具有 个元素的子域, 而非任意抽象同构副本.

证明 12 (代数闭包中的 Frobenius 不动域)

由 Frobenius 的环同态性, 是 环同态; 因 是 域, 它是 单射. 又因 是 代数闭域, 对每个 , 多项式 都有根, 故 是 满射, 从而是 自同构. 因此 的 不动域 正是 的根集 .

存在性

对加减乘法和非零元素取逆封闭, 并包含 , 因而是子域. 多项式 在 代数闭域 中完全分裂, 其形式导数为 , 故没有重根, 从而 . 对 , 由 有限群 中元素的阶整除群的阶得 , 所以 ; 零元也满足此式. 因而 .

唯一性

若 是具有 个元素的子域, 则其非零元素构成阶为 的 有限群, 故每个 都满足 . 于是 , 由基数相等得 . 因此 是唯一这样的 有限域, 可在固定的 内表示为 .

推论 13 (Frobenius 与 Galois 群的不动域)

沿用 代数闭包中的 Frobenius 不动域 的嵌入约定, 设 , . 对 域扩张 有：

1. 属于 Galois 群 , 且其阶为 ;
2. 由 生成的 循环群 的 不动域 为 .

证明 14 (Frobenius 与 Galois 群的不动域)

1. 由 代数闭包中的 Frobenius 不动域, 保持 , 固定 , 并在 上满足 . 因而 是 域扩张 的 Galois 群 中的元素. 若 且 , 则 的 个元素都是 多项式 的根, 但非零多项式的根数不超过次数 , 矛盾. 故 的阶恰为 .
2. 元素被整个 循环群 固定当且仅当被 固定. 再由 代数闭包中的 Frobenius 不动域 取迭代次数为 , 得 不动域 .
   

5. 相关概念

• 有限域
• 环的特征
• 交换环
• 环同态
• 代数闭包
• 代数闭域
• 域扩张
• Galois 群
• 不动域

6. 术语翻译

中文	英文
Frobenius 自同态	Frobenius endomorphism
Frobenius 自同构	Frobenius automorphism
次幂 Frobenius	-power Frobenius