1. 概述 于 代数几何 中, 坐标环 是仿射代数集上的多项式函数组成的 交换环. 它把几何对象编码为有限型约化代数. 注记 1 (动机) 与其只把 看成一组点, 还可以收集所有能在 上读取坐标的 多项式函数. 两个多项式在 上给出同一个函数, 当且仅当它们之差属于 消去理想 , 因而需要用 商环 识别它们. 注记 2 (直观理解) 方程决定要在 多项式环 中“模掉”哪些关系. 商环 中的 零因子 会显露不同几何分支, 而商环是否为 整环 则检测几何对象是否不可约; 参数化还会把坐标函数送入参数环, 从而把几何映射翻译成反方向的 环同态. 2. 定义 定义 3 (坐标环) 设 为 仿射代数集. 称 商环： 为 的 坐标环. 记号 4 (坐标环) 坐标环 也记为 , 其中 表示 结构层 的整体 截面 组成的 正则函数环. 3. 例子 例子 5 (仿射空间与抛物线) 设 为 代数闭域. 有 . 对抛物线 , 坐标环 满足： 这个同构反映了参数化 可以由坐标 唯一恢复参数. 例子 6 (尖点曲线) 设 为 代数闭域, . 参数化 在坐标环上给出嵌入： 因为 , 这个 坐标环 与抛物线的 不同, 尖点处缺失的信息也由此显现. 例子 7 (节点曲线与交叉分支) 设 为特征不等于 的 代数闭域. 节点三次曲线 的 坐标环 为 ; 它在原点有两个切向不同的局部分支. 与之相比, 代数集 的坐标环 含有 零因子 , 直接表明它由两条坐标轴组成. 4. 相关性质 命题 8 (坐标环是有限型约化代数) 每个 仿射代数集 的 坐标环 都是有限型约化 -代数. 证明 9 (坐标环是有限型约化代数) 由定义, 是多项式代数的商, 因而 有限型. 又由 消去理想是根理想, 商环没有非零幂零元. 5. 相关概念 消去理想 仿射簇 正则函数 正则函数环 仿射簇的态射 6. 术语翻译 中文英文坐标环coordinate ring