结构层

1. 概述

于 代数几何 中, 结构层 是 局部环化空间 或 概形 所携带的 环层. 它为每个 开集 记录局部代数函数, 并把这些函数的限制与点处的局部环统一起来.

2. 定义

定义 1 (结构层)

设 为 局部环化空间, 即 为 上的 环层, 且每个点 处的茎 都是 局部环. 则称 为 的 结构层.

记号 2 (结构层)

结构层 通常记为 ; 表示开集 上的截面环.

3. 例子

例子 3 (仿射概形上的结构层)

设 为 交换环, . 在每个 主开集 上规定：

并以 局部化 的自然同态给出限制映射. 这些局部化截面经粘合得到 上的 环层, 称为 的仿射结构层.

例子 4 (仿射谱上的整体截面)

对 , 仿射概形上的结构层 的整体截面环满足：

例子 5 (仿射直线)

设 为 域, . 则 仿射概形上的结构层 在 上的截面环为 , 其中 在 局部化 中变为可逆元.

4. 相关性质

命题 6 (仿射结构层的茎)

设 为 交换环, , 且 为上述 仿射概形上的结构层. 对点 , 在 处的茎自然同构于 素理想处的局部化 .

证明 7 (仿射结构层的茎)

主开集 中包含 当且仅当 . 因而茎是局部化环 沿这些主开集的直接极限, 即得到 .

推论 8 (仿射结构层的局部环性质)

设 为 交换环, . 仿射概形上的结构层 的每个茎都是 局部环, 因而 是 局部环化空间.

证明 9 (仿射结构层的局部环性质)

由 仿射结构层的茎 得到每个茎为 . 素理想处的局部化 的相关性质说明 是 局部环, 因而该环化空间满足局部环化空间的定义.

5. 相关概念

• 环层
• 层
• 截面
• 茎
• 局部环化空间
• 概形
• 主开集
• 局部化
• 正则函数环

6. 术语翻译

中文	英文
结构层	structure sheaf
仿射结构层	affine structure sheaf
截面	section
茎	stalk