环单同态

1. 概述

于 环论 中, 环单同态 是底层 映射 为 单射 的 环同态. 它把定义域辨识为陪域中的一个 子环, 并与环同态的零核条件等价.

2. 定义

定义 1 (环单同态)

设 为 环, 为 环同态. 称 为 环单同态, 当 是 单射.

注记 2 (与范畴单同态的关系)

环单同态 恰是环的 范畴 中的 单同态.

3. 例子

例子 3 (整数环到有理数域的包含)

包含映射 是从 整数环 到 有理数 域的 定义 1 (环单同态), 因为它保持环运算且是单射.

例子 4 (常数多项式的嵌入)

设 为 交换环. 映射：

是从 到 多项式环 的 环单同态.

详情请参阅 环论中同态的例子.

4. 相关性质

命题 5 (环单同态的复合)

设 为 环, 与 为 定义 1 (环单同态), 则 复合 仍为环单同态.

证明 6 (环单同态的复合)

环同态的复合仍保持加法、乘法与幺元; 单射的复合仍为单射, 故 是 环单同态.

命题 7 (环单同态的零核判别)

设 为 环同态. 则 为 定义 1 (环单同态) 当且仅当其 核 满足：

证明 8 (环单同态的零核判别)

充分性 ( )

若 是 环单同态 且 , 则由单射性得 , 故 .

必要性 ( )

若 且 , 则 , 所以 , 即 . 因此 是单射.

推论 9 (环单同态与其像)

设 为 定义 1 (环单同态), 则 , 其中 为 的 像.

证明 10 (环单同态与其像)

由 环单同态 的定义、环的第一同构定理 以及 环单同态的零核判别, 有 且 , 故 .

5. 相关概念

• 环同态
• 环满同态
• 环同构
• 子环

6. 术语翻译

中文	英文
环单同态	injective ring homomorphism