空集

1. 概述

于 集合论 中, 空集 是不包含任何 元素 的 集合. 由集合的 外延公理 可知, 所有不含元素的集合彼此相等, 因而空集是唯一的.

从 范畴论 的观点看, 空集恰好是 集合范畴 中的 始对象.

2. 定义

定义 1 (空集)

若 集合 满足

则称 为 空集.

记号 2 (空集)

空集 记为 或 .

3. 例子

例子 3 (与空集有关的集合)

• ;
• , 因而 本身不是 空集;
• 对任意集合 , 有 .

4. 相关性质

命题 4 (空集的唯一性)

定义 1 (空集) 是唯一的.

证明 5 (空集的唯一性)

若 都不含元素, 则对任意 都有 . 由集合的 外延公理, .

命题 6 (空集是始对象)

对任意 集合 , 存在唯一映射 .

证明 7 (空集是始对象)

空集 没有元素, 因而空映射自动满足 映射 的要求; 同时不存在需要另行指定的函数值, 所以这种映射唯一, 即空集是 始对象.

命题 8 (空集是任何集合的子集)

对任意 集合 , 都有 .

证明 9 (空集是任何集合的子集)

空集 不含元素, 所以命题 的前件恒假, 因而对任意 都成立; 由 子集 的定义即得结论.

命题 10 (空集是有限集)

定义 1 (空集) 是 有限集, 且其 基数 为 .

证明 11 (空集是有限集)

按约定 , 恒等映射给出 与 之间的 双射.

5. 相关概念

• 始对象
• 非空集
• 有限集

6. 术语翻译

中文	英文
空集	empty set

集合论