仿射簇

1. 概述

于经典 代数几何 中, 仿射簇 是不可约的 仿射代数集. 有些文献把任意约化仿射代数集也称为仿射簇, 本库采用不可约约定.

注记 1 (直观理解)

本页的 仿射簇 同时具有不可约性与经典约化点集的背景. 可约对象如 仍是 仿射代数集, 含 幂零元 的无穷小厚化则需要在 仿射概形 中表达, 不能仅由经典零点集区分.

2. 定义

定义 2 (仿射簇)

设 为 代数闭域. 称 中的 不可约代数集 为 仿射簇.

3. 例子

例子 3 (抛物线)

仿射代数集 是 仿射簇, 因为其 坐标环 同构于整环 .

例子 4 (仿射直线、尖点与节点)

设 为 代数闭域. 仿射空间 是 仿射簇. 尖点曲线 也是仿射簇, 其 坐标环 同构于 整环 . 若 , 则节点三次曲线 同样不可约, 虽然它在原点具有两个局部分支.

4. 相关性质

命题 5 (仿射簇与有限型整代数)

仿射簇 的坐标环是有限型整 -代数. 反之, 每个有限型整 -代数都同构于某个仿射簇的 坐标环.

证明 6 (仿射簇与有限型整代数)

正向由 坐标环是有限型约化代数 与不可约性的素理想判别得到. 反向将有限型整代数写成 , 其中 为素理想; 由 Hilbert 零点定理 得相应零点集的消去理想为 .

5. 相关概念

• 仿射代数集
• 坐标环
• 仿射簇的态射
• 射影簇

6. 术语翻译

中文	英文
仿射簇	affine variety