正则函数

1. 概述

于 代数几何 中, 正则函数 是局部可表示为多项式之商且分母不为零的函数. 在仿射簇整体上, 正则函数通常由坐标环元素给出.

注记 1 (动机)

先从一条直线看起：设 为 代数闭域, 把 仿射空间 的点看成 . 多项式环 中的 原本是不定元, 但在这条直线上, 它也对应“读出点的坐标”的函数 ; 因而 就对应 多项式函数 , 例如输入 就得到 .

那么 呢？在 点确实不能取值, 但若只看 主开集 , 每个点都有非零坐标, 函数 就完全有意义. 所以我们不想只允许多项式, 却也不能把一个 有理函数 不加检查地当成整条直线上的函数：定义域里是否包含分母为零的点, 是必须说明的边界.

正则函数 就是把这个要求 局部化：在指定的 开集 内, 每一点附近都要能用一个分母处处非零的多项式之商表示函数, 不同邻域可以使用不同的分式.

注记 2 (直观理解)

把函数画成高度图只能说明它在某些点上有数值, 不能自动说明它在代数意义下全局正则. 真正需要检查的是：这个函数能否在指定开集的每一点附近由允许的坐标函数作多项式运算和分母不为零的除法得到.

注记 3 (方法与视角)

在 仿射簇 上, 先用 坐标环 判断全局正则性, 再用 主开集 上的 局部化 判断局部正则性. 尖点曲线上的 正好展示了“在稠密开集上正则”与“在整条曲线上正则”的差别.

2. 定义

定义 4 (正则函数)

设 为 仿射簇, 为 开集, 为 函数. 若对每个 , 存在 开邻域 及 , 使 在 上处处非零且 , 则称 为 上的 正则函数.

3. 例子

例子 5 (仿射空间上的多项式与坐标函数)

设 为 代数闭域, 为整数, 为 仿射空间. 任意 多项式函数 都是 上的 正则函数, 因为可以处处使用分母为 的表示 . 特别地, 坐标函数 () 与常值函数均为正则函数; 在 上, 就是一个具体例子.

例子 6 (主开集上的倒数)

设 为 代数闭域, 为 仿射簇, 为其 坐标环 中的元素. 在 主开集 上, 函数 是 正则函数.

例子 7 (主开集上的分式)

设 为 代数闭域, 为 仿射空间, 为 主开集. 函数 是 上的 正则函数, 因为分子与分母都是 多项式函数, 且分母在整个 上非零. 此处无需再缩小邻域, 同一个分式已适用于所有点.

例子 8 (双曲线上的倒数也是多项式的限制)

设 为 代数闭域, 为 仿射簇. 对每个 , 都有 , 因而 且 . 所以 上的函数 是 正则函数, 并且等于 多项式函数 在 上的限制; 在 坐标环 中, 这体现为 的 逆元 就是 .

例子 9 (倒数不能直接定义在整条仿射直线上)

设 为 代数闭域, 为 仿射空间. 表达式 给出 有理函数, 并在 主开集 上给出 正则函数, 但在 点没有定义, 因而不能直接视为整个 上的正则函数. 这说明是否正则不仅取决于分式, 还取决于指定的定义域.

例子 10 (抛物线上的正则函数)

设 为 代数闭域, , 并用 参数化. 因为 坐标环 , 每个整体 正则函数 都可写成 的多项式; 例如坐标函数 对应 .

例子 11 (尖点曲线上的局部函数)

设 为 代数闭域, , 并用 参数化. 坐标环 , 因而 不是 上的整体 正则函数. 但在 主开集 上有 , 所以它在去掉尖点后正则.

4. 相关性质

命题 12 (仿射簇上的整体正则函数)

设 为 仿射簇. 则 上全部 正则函数 组成的环自然同构于 坐标环 .

5. 相关概念

• 坐标环
• 正则函数环
• 截面
• 仿射簇的态射
• 有理函数
• 结构层

6. 术语翻译

中文	英文
正则函数	regular function