幺半群

1. 概述

于 群论 中, 幺半群 是指额外带有 单位律 的 半群.

从 范畴论 的视角看, 每个幺半群都可视为只有一个 对象 的 范畴：幺半群的元素作为该对象的 自态射, 乘法作为 复合态射, 幺元作为单位态射. 因而一般范畴也常被理解为“具有多个对象的幺半群”.

2. 定义

定义 1 (幺半群)

称 半群 为 幺半群, 当它的 运算 > ^48e77d 额外满足 单位律, 即：

其中 被称为 的 幺元 (或 单位元).

记号 2 (幺半群)

特别地, 我们通常称 为 加法幺半群, 而 则为 乘法幺半群, 且带有一些常见记号：

• 于加法幺半群中：记幺元为 ;
• 于乘法幺半群中：记幺元为 .

3. 例子

详情请参阅 群论中的基本例子.

4. 相关性质

命题 3 (幺元的唯一性)

对任意 定义 1 (幺半群) , 其幺元 唯一.

证明 4 (幺元的唯一性)

假设有另一幺元 , 显然由 单位律 有 , 因此幺元唯一.

5. 相关概念

• 交换幺半群 (带 交换律 的版本)
• 群 (带 逆元律 的版本)
• 范畴 (幺半群的多对象推广)

6. 术语翻译

中文	英文
幺半群	monoid
加法幺半群	additive monoid
乘法幺半群	multiplicative monoid