局部化

1. 概述

于 环论 中, 交换环的局部化 是将指定乘法闭集中的元素强制变为 单位 的环构造. 它统一了 分式域、主开集上的函数环与素理想处的 局部环.

注记 1 (动机)

研究一个 交换环 时, 常希望只允许除以预先选定的元素, 同时保留原环中与这些除法相容的代数关系. 交换环的局部化 将这一需求组织成统一构造, 使整体问题能够转化为围绕指定分母的局部问题.

注记 2 (直观理解)

可将 乘法闭集 看作允许使用的分母集合. 在 中, 元素表现为分式 , 而 中的元素都已成为可消去的 单位.

注记 3 (方法与视角)

使用 交换环的局部化 时, 通常先根据研究对象选择 乘法闭集, 再利用 局部化的泛性质 构造从局部化环出发的同态. 对 整环 取全部非零元素、对非 幂零元 取 , 或取 素理想 的补集, 分别通向 分式域、主开集 与素理想附近的局部研究.

2. 定义

定义 4 (交换环的局部化)

设 为 交换环, 为 乘法闭集. 在 上定义 等价关系：

在商集 上定义：

称上述由 与 构造的 交换环 为 交换环的局部化.

记号 5 (交换环的局部化)

对 交换环的局部化 使用以下记号：

• 等价类 记为 , 而所得 环 记为 ;
• 映射： 称为局部化的典范同态;
• 若 , 则 记为 ;
• 若 , 其中 为 素理想, 则 记为 .

3. 例子

例子 6 (整数的局部化)

取 , 则 . 对素数 , 由分母不被 整除的有理数组成.

例子 7 (整环的分式域)

设 为 整环, 并取 . 由于两个非零元素的乘积仍非零, 是 乘法闭集. 在 交换环的局部化 中, 的每个非零元素都可逆, 因而 正是 的 分式域.

例子 8 (多项式环的主局部化)

设 为 域, 为 多项式环, 并取 乘法闭集 . 交换环的局部化 的元素可写为 , 其中 且 . 它与 Laurent 多项式环 同构, 体现了只把 的幂作为新分母的构造.

例子 9 (平面原点处的局部化)

设 为 域, 为 多项式环, 并取 素理想 . 补集 是 乘法闭集, 而 交换环的局部化 由分式 组成, 其中 且 , 即 的常数项非零. 该环是 局部环, 其唯一 极大理想 为 , 因而它保留了多项式在原点附近的代数信息.

4. 相关性质

命题 10 (局部化典范同态的核)

设 为典范同态, 则其 核 为：

证明 11 (局部化典范同态的核)

当且仅当存在 使 , 这正是所述集合.

命题 12 (局部化的泛性质)

设 为到交换环 的 环同态, 且对每个 , 都是单位. 则存在唯一环同态 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
R \ar[r]^{\iota} \ar[dr]_{f} & S^{-1}R \ar@{—>}[d]^{\widetilde f} \
& T
}

该同态显式给出为：

使 .

证明 13 (局部化的泛性质)

存在性

若 , 则存在 使 . 因 都可逆, 可消去这些单位并得到 , 故命题中的公式良定义. 直接计算可知它保持加法、乘法和幺元, 且满足 .

唯一性

任意满足分解条件的环同态 都必须满足：

因而 .

命题 14 (素理想处的局部环)

设 为 交换环 的 素理想, 则 是 局部环, 其唯一 极大理想 为：

证明 15 (素理想处的局部环)

若 , 则 , 因而 可作为分母, 且 是 的逆元. 所以该理想之外的每个元素都是单位; 由 局部环的单位判别, 是局部环, 且该理想是唯一极大理想.

定理 16 (局部化中的素理想对应)

设 为 交换环, 为 乘法闭集. 记 为与 不交的素理想全体, 为 的素理想全体. 两者一一对应, 对应由：

给出.

证明 17 (局部化中的素理想对应)

若 , 则 是真理想. 若 , 则存在 使 . 因 且 为素理想, 有 或 , 故 或 属于 . 所以 为素理想.

反之, 若 是 的素理想, 则其原像 是素理想. 对每个 , 是单位, 不属于真理想 , 故该原像与 不交.

最后, 对 , 有 ; 对 , 每个 都满足 , 所以 . 因而两构造互逆.

5. 相关概念

• 乘法闭集
• 局部环
• 分式域
• 素理想

6. 术语翻译

中文	英文
交换环的局部化	localization
在素理想处局部化	localization at a prime ideal