1. 概述 于 层论 中, 层 是满足覆盖资料可唯一粘合条件的 预层. 它把局部对象上的数据组织成全局对象, 并可在 一般拓扑、Topos 理论 与代数几何中使用同一套广义语言. 2. 定义 定义 1 (层) 设 为 范畴, 为其上的覆盖系统, 即对每个 对象 指定一族覆盖 筛 , 且 为 预层. 对 , 有自然 限制映射 到 自然变换 集合： 若上述映射对每个 与 都是双射, 则称 满足该覆盖结构下的 层 条件. 记号 2 (层) 层 通常记为 ; 覆盖筛 中的相容族称为匹配族. 定义 3 (层的等化子表述) 设 为 范畴, 为其上的覆盖系统, 为每个 对象 上的覆盖 筛 族, 为 预层, 且对每个 选定一族生成它的覆盖基 , 其中 中每个箭头都经某个 分解, 且这些箭头的两两 纤维积 存在. 若对每个这样的覆盖基, 下列图表是 等化子, 则称 满足层的等化子条件： 是 等化子. 这给出 层 的另一种定义. 3. 例子 例子 4 (拓扑空间上的层) 设 为 拓扑空间, 以开覆盖生成的 覆盖筛 赋予开集 偏序范畴 一个 Grothendieck 拓扑. 取每个开集上的 连续函数 集合并使用 限制映射, 得到 层. 4. 相关性质 命题 5 (层的两种定义等价) 假设每个 都选定一个生成它的覆盖基, 且相关纤维积存在. 在此条件下, 层 的匹配族定义与 层的等化子表述 等价. 证明 6 (层的两种定义等价) 正向 ( ) 若每个覆盖筛上的限制映射为双射, 则一个截面给出各 上相容的局部截面. 覆盖族生成的筛中的 自然变换 正好由这些匹配条件刻画, 因而上述映射是 等化子. 反向 ( ) 若每个覆盖族给出的图表是 等化子, 则任意满足两两相容条件的局部截面唯一来自 中的截面. 将覆盖筛中的每个态射分解到覆盖族后, 得到唯一的 自然变换 提升, 所以匹配族映射为双射. 命题 7 (覆盖筛上的唯一粘合) 设 为 层, 为 覆盖筛. 每个 自然变换 都由唯一的 诱导. 证明 8 (覆盖筛上的唯一粘合) 存在性 由 层 的匹配族定义, 覆盖筛上的 自然变换 来自某个 . 唯一性 匹配族映射是单射, 因而产生同一 自然变换 的两个截面相等. 5. 相关概念 预层 Grothendieck 拓扑 站点 筛 等化子 层同态 茎 6. 术语翻译 中文英文层sheaf匹配族matching family